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à cause de 
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Or peus B—0...y—0,onau,.,—1; donc 
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F(m+En+.+r) ++ a+T) (ot. +a) er © @ 
La formule (B) permettra de balébier la formule.(æ); car on 
peut développer les binômes (8 + 4)"-!, ….(5 + >)-!; et le terme 
général du développement sera de la forme (G), et pourra se 
déterminer par cette dernière formule. 
47. ProBLème XX. Deux joueurs À et B, dont les probabilités 
respectives de gagner un coup sont « et 5, ont l'un m et l’autre n, 
en out m +n—r jetons; à chaque coup le perdant donne un 
jeton à son adversaire; la partie ne finit que quand l’un des 
Joueurs a perdu tous ses jetons. Quelle est la probabilité pour A 
de gagner au s° coup, en supposant m > s? 
SOLUTION. Soit 4, la probabilité cherchée. 
A peut gagner la partie au moment du coup actuel : 
1° S'il gagne ce coup, et qu'il gagne la partie au moyen des 
coups suivants: la probabilité de cet événement composé sera 
ln +4, 13 
2° S'il perd ce coup, mais qu'il gagne la partie au moyen des 
coups suivants, la probabilité de cet événement sera Bu, _, ,_;; 
par suite, la probabilité est égale à la somme : 
Un,s = AUmyi,s1t EU_a, 31. Re ME (1) 
Mulüplions par #’, faisons s successivement égal à 1, 2, 5, …, 
ajoutons, et désignons la somme par z,, ; il viendra 
4 
SU a Un 40 2 Wal Lie 
1 
; 2 9 
== CAPE ol E Un+41, 1l + …| Qu B IG + Un—1, il Un …]. 
Or, en général (sauf le cas où n — 0), on a 
Un 41,0 = 0, Un1,0 = 0; 
