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Enfin , si nous posons s — # + 25, nous aurons 
GATE à 
Uno ©n{(n + 1). (n +i+t). 
: 120 
48. Proscème XXI. Une urne contient r boules marquées 1; 
_r'boules marquées 2, etc., r boules marquées n; On en tire toutes les 
boules successivement; trouver la probabilité qu'au moins 1, ou 2, 
ou 5, elc., ou i boules, sortent au rang marqué par leur numéro. 
SozuTiox. Aucune boule ne peut sortir à son rang que dans 
les n premiers tirages. On peut done faire abstraction des tirages 
suivants. Le nombre total des boules est rn — s. Comme il faut 
avoir égard à l'ordre, le nombre total de tous les cas possibles 
est égal au nombre des arrangements de s” boules, prises n à n, 
ou 
T—=s(s—1)—(s— 70 +1) = s"". 
Cherchons : 
A. La probabilité P, qu'une boule au moins sortira au rang 
marqué par son numéro. 
Supposons qu'une boule n° 1 sorte la première; comme cela * 
ne peut arriver qu'autant de fois qu'il y a d'arrangements possi- 
bles avec s — 1 boules prises n — 1 à » — 1, on aura : 
{s—1)(s — 2). (s — n + 1)—(s — 1)" 
pour le nombre des cas dans lesquels une boule n° 1 sort la pre- 
mière. 
Cette supposition s'applique aux r boules, done r (s — 1)" "7" 
sera le nombre des cas où les r boules n° 1 sortent à leur rang. 
Les mêmes résultats s'appliquent aux n° 2,.5,..n; donc 
nr (s KE, à no —= $ (s HUE din EME s"—1 L à j (a) 
sera le nombre des cas dans lesquels une boule au moins sortira 
à son rang, pourvu que l’on en retranche les cas qui sont répétés. 
_ Déterminons ces cas. | 
Considérons le cas où une des boules n° 1 sort la premicre, 
et une des boules n° 2 la seconde. Ce cas est compris deux fois 
