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La somme (a) doit done être continuée jusqu'à ce qu'on 
trouve 0 , ou =. 
Déuxième PROBLÈME. Déterminer l'espérance mathématique du 
banquier quand q est > 2. 
Sozuriox. Si qg > 2, le nombre de cartes au commencement 
de la r°* taille étant q ou g + 1, la r"* taille n'épuisera pas toutes 
les cartes; il est donc inutile de prendre en considération la der- 
nière règle du jeu, pour en tenir compte dans la recherche de 
l'espérance mathématique du banquier. 
Si a est la mise du ponte, le gain à espérer par le barquier 
sera Su, et son espérance mathématique sera donc : 
1 EC I ON rt La 
2" p(p—1)l  (p—2)(p—5) pepe) (oi 
et la série s'arrêtera d'elle-même. 
TROISIÈME PROBLÈME. Déterminer l'espérance mathématique du 
banquier quand r = 2. 
Sozurion. Si dans la formule (g) on pose q —2, tous les 
termes de la parenthèse seront égaux à l'unité, et leur nombre 
sera celui des termes de la progression 1, 5, 5, … p — 1, nombre 
qui est? ; on.a donc 
(4) 
Mais, dans ce cas, l'espérance mathématique du banquier est 
plus grande que cette valeur (Æ); car pour 9 =2, onar—?, 
2r = p; il ne reste donc plus de cartes après la r”* taille, et, 
d'après la dernière règle du jeu, le banquier gagnera sûrement à 
la r”* taille. Si les deux cartes du ponte sont dans cette taille, le 
banquier gagnera a et non u; or, la probabilité qu'il en sera 
ainsi est, d’après la formule (A), dans laquelle on doit faire 
cg 2 ; 
un —2)..4 120 
-1p(p—1).35  p(p—1) 
