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83. CINQUIÈME PROBLÈME. En supposant 0 certain, trouver la 
probabilité IL que sur n naissances le nombre des garcons ne sera 
pas supérieur à u. (Voir n° 81.) 
Sozuriox. Soit E l’événement dont il s’agit : cet événement 
pourra être amené en général en supposant que sur n —u+k 
naissances, il y ait » — « filles et À garcons, sans que le dernier 
né soit un garçon. 
Comme les Æ garçons peuvent prendre alors chacune des 
n—u+k— 1 premières places, la probabilité de cet événe- 
ment, pour une valeur déterminée de X, sera : 
(n—u+k—1)(n—u+k—9)..(n—u) (1 — x)" mé, 
AA 
Mais l'événement E pouvant ètre amené par toutes les valeurs 
de k depuis 1 jusque w, la probabilité cherchée sera 
Li 
TN) (n—u+k—1)(n—u+k—).…..(n— 1) 
2 1.2...k | te 
non) nu 
( 1.2 
n— u)….(n —1 
+" a pr (a) 
1 
en posant x —p et | — x — q. 
Transformons le second membre en une ne définie. 
Par des mtégrations successives par parties, on obtient : 
7 y dy =") De OUR NE Re AGE NE 
Aæ+y On (U+y) n—1 (+ y)" (n—1)(n—2) Aæy= 
u(u—1)..(u — +14). y" ‘dy 
RE RE M ANSE A PE BA A NAN UE Le 
Re 
PEU, on a : 
fe Et un vs 
—————  — 
— 
1) (A+y)" n—1 (+ y)" ! (n—1)(n—92 )(1+y" 
u(u —1)...9.1 1 
