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188. Troisième PROBLÈME. Une urne renferme un très-grand 
nombre n de boules blanches; une seconde urne le même 
nombre de noires; on extrait de l’une de ces urnes une boule 
que l’on remet dans l’autre; puis on extrait une boule de cette 
dernière. 
Un témoin du premier tirage affirme qu’une blanche est sortie; 
un témoin du second tirage affirme également qu'il a vu sortir 
une blanche ; quelle est la probabilité qu'une boule blanche est 
effectivement sortie dans les deux tirages? 
Soit q la probabilité que le premier témoin énonce la vérité, 
c'est-à-dire, en nous conformant aux notations précédentes 
g=pr+({i—p)(i—r). 
Désignons par g' la même probabilité relativement au second 
témoin. 
Nous pouvons faire les quatre hypothèses suivantes : 
1). Le premier et le second témoin disent la vérité. 
2). » témoin dit la vérité, le second ment. 
3). » » ment, le second dit la vérité. 
4). » et le second témoin mentent. 
Première hypothèse. Les deux témoins disent la vérité. 
La probabilité du fait observé, due à cette hypothèse, se compose: 
1° De la probabilité q que le premier témoin dit la vérité ; 
De » » qg! » second témoin dit la vérité; 
=, 1 = 
9° » » ; qu'une boule blanche est sortie au pre- 
mier tirage; car la boule extraite peut être sortie également de la 
première ou de la seconde urne; | 
4° De la probabilité —> de l'extraction d’une blanche de la 
seconde urne, puisqu'il a été extrait une blanche de la première, 
et que la seconde renferme par suite » noires, plus la blanche 
qu'on y à ajoutée. 
La probabilité due à la première hypothèse est donc 
1 
Sn | 2(n + 1) 
