00. MEMOIRES DE L'ACADEMIE ROYALE 
Pour cela, on n'aura qu'à prendre une pi 
forme de fonction dans laquelle il y ait 
un radical qué lon fuppofera inconnu, 
& toutes les autres quantités connuës & 
prifes à volonté, puis fubftituer les deux 
valeurs que lon peut avoir en prenant 
ce radical en + ou en — dans lé Z% P 
quation donnée, & chercher la valeur 
de ce radical, comme on fait pour dégager une inconnuë ; 
enfuite ayant trouvé ce radical, on le mettra dans la fonction 
qu’on avoit choifie pour la valeur de l’appliquée de la courbe 
cherchée. Alors fi on prend le figne + on aura l’équation 
de la branche compofée des points W, & fi on prend le 
figne — on aura celle des points 7, ou au contraire. 
Et en faifant évanouir les radicaux, on aura l'équation de 
la courbe entiére. [ 
Suppofons, par exemple, qu'on veuille trouver la courbe 
où PM°+ PN°—aa. Je nomme AP, x; PM, y; PN, y’, 
j'imagine que l'ordonnée de la courbe foit exprimée en 
général par la quantité & u H V7 où $ # exprime une 
quantité quelconque compofée de # & de conftantes, & 
V4 un radical que je vais déterminer. Par ce que je viens 
de dire, y' fera du 7, &y, Du —Vz; fubftituant 
ces deux valeurs dans l'équation PM°+ PN°= aa, 
ou-yy + y'y —aa, on aura 2/Ÿ ut} + 27—=aa; 
d'où l'on tire 7 —+aa—/bu)* qui étant remis dans la 
valeur de l'ordonniée donnera y = 1 + VT£aa—[&u)], 
&y=Du—VÎiaa—/du)], & en fafant évanouir 
des radicaux y y — 2y Du—+aa—2/$u)", & 
yyY— 27 Du—Taa— 2/$u)" qui font les mêmes, 
‘& qui font voir que les deux branches 47/0, NO, font 
à fa même courbe, & ont là propriété demandée. Il en 
fera ainfi des autres, quelque forme de fonétion que lon 
imagine avec des radicaux, réfoudra le Probleme, s'il peut 
être réfolu. Mais il y a bien des cas où il eft impoflible de 
trouver des courbes dans lefquelles P47 & PN ayent certaine 
relation 
