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DES, SIC IN GES 20H 
relation entre elles. Ces cas font ceux où la relation entre 
PM & PN n'eft pas exprimée par une équation dans laquelle 
ces deux quantités faflent la même fonction, il n'y a point 
de courbes qui réfolvent le Probleme alors. 
La démonftration de tout ce que nous venons de dire 
eft évidente par le Lemme précédent; car les quantités dans 
lefquelles il entreun radical font dans le même cas que À -+- 
& A—B, dont j'ai parlé dans ce Lemme: ainfi en les fub- 
ftituant dans une équation où PAZ & PN font la même 
fonction, les puiflances impaires du radical V2 que l'on a pris 
s'évanouiront, & il n'y aura plus que des 7, de maniére qu'en 
dégageant le 7 de ces équations, on en aura une valeur dont 
la racine quarrée pourra être mife à la place de y%. Mais 
fl PM & PN ne font pas la même fonction, les Vz ne 
s'en iront pas par-tout, & l'on ne trouvera pas pour y? une 
valeur qui ne foit purement qu'un radical, il y entrera des 
quantités rationnelles auxquelles on ne pourra pas donner 
à volonté le figne -p où ——. Pour mieux faire voir 
par un exemple comment il eft impoñfible de trouver des 
courbes où PM & PN ne faflent pas la même fonétion, 
fuppofons que l’on demande des courbes où PM 2PN 
a; faïlant PM Gu +2 & PN—Du— 77, on 
aura 3®u—V7—a, d'où l'on tire ÿz— 3%v — à, qui 
n'eft pas une quantité radicale, & qui ne peut pas par con- 
féquent donner deux valeurs différentes à PM & PN. Si 
Yon vouloit trouver des courbes où 214 FH PN x b—aa;, 
en fuppofant toûjours 2A1—% uvre & PN—= uv, 
on aura (Du) 2bu Ver + Du —4 = a à) 
dans laquelle 1a quantité % fe trouveroit égale à un radical 
plus une quantité rationnelle, & par conféquent elle ne 
pourroit pas être fubflituée pour 47 dans la fonction & u 
= V3. Mais dans toutes les équations où PA & PN entrent 
de la même maniére, les termes où front V3 fe détruiront, 
il n'y aura que des 7, & par conféquent après avoir dégagé 
ces 7, on aura une valeur de ÿz qu'on pourra prendre en + 
ou en — pour avoir les valeurs de 24 & de PN,. 
Mem 1734 . Cc 
