DES Sciences. 43 f 



On lêra convaincu qu'on poujra toujours trouver ce 



terme compofc de y, de p Si. de (/y, û nous faifons voir 



bien nettement que toutes les fois qu'on aura une quantité 



Adx-{-Bdy, telle que -j— z=.-^, elle aura une Intégrale, 



& que cette Intégrale ferufAdx -+- [y-f], c'efl i'inverfe de 

 notre Théorème, qui pourroit laifîèr quelques fcrupules /ans 

 la démonftration fuivante. La queftion eft donc de démon- 

 trer que/4^x-h-[j./^]=/^^A-l-5«'7; û -^ = ^. 



Pour le prouver, je différencie fA^x-h-[y./\ , en fuppo- 

 fànt *• Si. y variables. 



On aura pour la différence de/AJx, AJx-i- la diffé- 

 rence defAdx, en fuppofîuit que _y feulement varie. Et 



cette différence fera dy /-^ (Ix. 



Mais au lieu de-j— , nous pouvons mettre •^. Donc 



la différence de [y.p] -\-fAdx eft Adx-^-dyf^ dx 



'-\-d\y.p\. Mais il efl évident o^ef-^ dx ne peut être que 



B o\xB — }— une fonflion dey & de^ (ce que j'exprime ainfî, 

 B-\-\y.p\). La différentielle précédente fè change donc en 

 Adx-\-Bdy~\-d \y'p'\ -+-dy {y-p}, qui fe réduit à Adx 

 '^Bdy, en faifant [/./] = — fdy {y-p}. 



Exemple général. 



Soit propofé d'intégrer l'Equation (ix-\-ky) dx -f- 

 (lx~\-my-\-np) dy, la plus générale de fon degré. 



Il paroît d'abord qu'il manque un terme à cette Equation, 

 où il devroit y zvoiï pdx, mais il eft aifé de voir qu'on 

 peut toujours chaflër ce terme par une transformation. 



On a par ce qui précède, M=.ix-\-ky & Nzzzlx 

 -i-wy-i-np, &parconféquent-^=j^, & -^ = /. 

 Il faudra prendre, fuivant notre méthode, Rzzzx^-{-bxy 

 cpx -H ey''-\-fpy -i-gp'', d'où ~ fera 2x-i- by-k-cp 



