Maniére de 
connoître fi 
une différen- 
tielle à trois 
variables, a 
une intégrale, 
Intégration 
des différen- 
tielles com- 
plertes à troïs 
variables, 
304 MEMOIRES DE L'ACADEMIE ROYALE 
CHAPITRE I. 
Des Equations à trois variables. 
6 L 
Soit Mdx+ Ndy + Pdz—o, une Equation quel- 
conque différentielle à trois variables, on commencera par 
s'aflürer fi cette Equation dans l'état où elle eft, ne feroit 
as la différentielle exacte de quelque Equation à trois va- 
riables, & pour cela on aura recours à notre T'héoreme, en 
examinant fi TE fi Se — & fi F = 
Si ces trois Equations ne fe trouvoient pas vrayes à la fois, 
la quantité Mdx + Ndy-+ Pdy, ne feroit pas une diffé. 
rentielle exacte. 
Sie 
Si au contraire ces trois Equations ont lieu, on cherchera 
ainfi l'intégrale de Mdx + Ndy + Pdy. 
On commencera par intégrer le premier terme 4x; 
en fuppofant que les lettres y & 7, qui entrent dans la fonc- 
tion A1, foient conftantes; l'intégration ou la conftruétion 
étant faite, il ne pourra manquer qu'une fonétion de y & 
de 7 à la quantité qu'on aura par cette opération, pour être 
l'intégrale complette de A4x + Ndy+ Pd7z Pour la 
trouver cette fonction de y & de 7, on rédifférenciera Ia 
quantité intégrée “a Mdx, en traitant x comme conftante, 
& y & z comme variables, & l'on retranchera la différen- 
tielle qui en viendra, de Ndy + Pdy7, le refte fera une 
fonétion différentielle de y, 7, dy, dz, dont l'intégrale fera 
la fonction cherchée à ajoûter à f Mdx. 
H eft évident que la maniére d'intégrer li fonétion de ÿ; 
Z dy, dz, que l'on aura par cette opération, fera la même 
que celle que nous avons enfeignée pour intégrer Adx+ Bdy 
dans la 1.'e Partie, $ V. 
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L 
