On tire de 
Ja Solution 
récédente le 
héoreme de 
M. Fontaine, 
322 MEMOIRES DE L'ACADEMIE ROYALE 
homogene, on a reconnu qu'elle étoit poffible par le fecours 
de l'Equation N LE — PR + &c. ce qu'il eft très- 
naturel de faire, on voit bien qu'il fera inutile alors d’exa- 
A .. Gdu+ Hd La ncbé 
miner fi la quantité eft une différentielle com- 
plette, puifqu’elle ne pourra pas manquer de l'être, 
& IE 
De ce que l'Equation propofée M4x-+ Ndy+-Pdy;=o 
AU AE ñ dx Gdu + Hdt : ef 
se C angee en "h: —+- CE 10; qui eilt une 
différentielle complette, on peut tirer tout de fuite le x 
ou facteur par lequel il auroit fallu multiplier tous fes termes 
pour l'intégrer fans transformée ; car il eft aifé de voir 
que M d x + Nd y + P dy n'eft devenu cette même 
différentielle complette, qu'en divifant tous les termes par 
x" (F+-Gu+ Ht), ou, ce qui revient au même, 
Mdx+ Ndy + Pdz 
pa *M+yN+7P. Donc FT eft une 
TX. . - x AT LE 
différentielle complette, ainfi er toit le facteur ge. 
cherché, qui s’en étoit allé par l'égalité à zero, & étant ré- 
tbli, lIntégrale eft facile par ce que nous avons dit. 
$ IFIE 
Par la méthode précédente, on démontrera facilement 
le Théoreme de M. Fontaine *, qui confifte en ce que fr 
Mdx--Ndy + Pdy eft la différentielle d'une fon&ion g 
qui ne contient point de conftantes, x + Ny + Pz 
* On doit à M. Euler là juftice de dire qu’il avoit donné au Public 
en 1736, dans fa Méchanique, tome 2 , propofit. X1V,. une Equation qui 
faic voir fuffifämment le Théoreme dont je viens de parler, pour toutes les 
Efquations qui ne renferment que deux variables. Dans le Volume de Pe- 
terfbourg, qui va paroître, M. Euler a donné le même Théoreme pour tant; 
de variables qu’on voudra ; mais M. Fontaine ne pouvoit pas en avoir aucune. 
connoiffance lorfqu’il donna fon Mémoire à l’Académie. 
