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féconde et destinée à un grand avenir, mais alors à peine connue 
et à peine employée, sauf par Cauchy, Jacobi, Reiss et Lebesgue. 
Il simplifie considérablement l'exposé des propriétés fondamen- 
tales des déterminants, grâce à l'emploi d'une notation ingénieuse, 
due à Cauchy, parait-il, mais qui était loin d’être classique, à 
cette époque. Outre la théorie générale, il fait connaitre deux 
théorèmes nouveaux, l’un qui est la généralisation d’une célèbre 
identité de Lagrange, l’autre que l’on énonce aujourd’hui de la 
manière suivante : Un circulant est égal, en valeur absolue, à la 
somme de ses éléments, multiplié par le déterminant persymé- 
trique ayant pour éléments les différences successives des éléments 
du circulant. 
. La transformation générale des intégrales multiples est ensuite 
exposée avec une rare élégance, grâce à l’heureuse idée qu'a eue 
M. Catalan de laisser sous forme implicite, les relations entre 
les anciennes variables et les nouvelles. 
Les deux Mémoires se terminent par de belles applications 
à diverses intégrales. L'auteur généralise les coordonnées ellip- 
tiques de Lamé et arrive, sur certaines intégrales hyperellip- 
tiques, à des théorèmes très généraux, analogues à ceux de 
Legendre sur les intégrales elliptiques complètes. 
On a dit, dans plus d'un ouvrage classique, que la transfor- 
mation des intégrales multiples est un problème qui a été résolu 
par Jacobi avant de l'être par M. Catalan. C'est une erreur : les 
deux mémoires de Jacobi, sur les déterminants et sur les déter- 
minants fonctionnels, n'ont paru qu’en 1841, dans le tome XXII 
du Journal de Crelle, et c’est là seulement que Jacobi démontre 
les formules générales de la transformation. Que Jacobi connût 
les formules auparavant, cela ne fait pas de doute. En 1855 
(dans le tome XIT, page 58 du Journal de Crelle), il énonce la 
formule générale, mais sans démonstration et seulement dans 
le cas où les anciennes variables sont données explicitement en 
fonction des nouvelles et, si l’on veut, d'une ou deux variables 
auxiliaires. Ce qui est vrai, c’est que, dans le Mémoire de 1855, 
Jacobi traite plusieurs questions spéciales que M. Catalan, sans 
s'en douter, a reprises, après lui, en 1840. 
