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tion absolument inattaquable (?7). Depuis, elle a été simplifiée, 
commentée et généralisée par divers géomètres, Wantzel, Serret, 
Michel Roberts, Bonnet, Beltrami, Dini. Mais, on le sait, en 
mathématiques, comme ailleurs, c'est souvent le premier pas 
qui est le plus difficile. Souvent aussi, rien n'est si aisé que de 
trouver des généralisations compliquées de théorèmes simples. 
M. Catalan, au reste, ne s’en tint pas à ses premiers pas dans 
cette théorie des élassoïdes. Dans un Mémoire (?$) sur les sur- 
faces gauches à plan directeur, qu'il publia en même temps que 
celui que je viens d'analyser, il trouva, outre divers résultats 
dignes d'intérêt, l'équation finie des lignes de courbure du 
conoïde héliçoïdal et établit de nouveau le théorème de Dupin, 
-depuis étendu par M. Roberts à tous les élassoïdes, savoir que, 
sur cette surface, les lignes asymptotiques font un angle de 
_quarante-cinq degrés avec les lignes de courbure. 
Douze ans plus tard, M. Catalan reprit de nouveau la question, 
et, presque en même temps qu'Ossian Bonnet, il résolut un pro- 
blème qui avait résisté jusqu'alors aux efforts des géomèêtres : il 
découvrit des élassoïdes algébriques (2). La méthode qui l'a 
conduit à ces nouveaux résultats, et aussi à une nouvelle forme 
de l'équation finie des élassoïdes, est digne d'attention. Il soumet 
l'équation de Lagrange à diverses transformations de variables 
qui permettent de l'intégrer par une somme de deux fonctions, 
dont chacune ne dépend plus que d’une seule lettre. Il retrouve 
ainsi plusieurs surfaces de Scherk, entre autres la première, dont 
il décrit la forme et la génération, de manière à permettre à 
Plateau de la réaliser expérimentalement; puis divers élassoïdes 
nouveaux parmi lesquels le remarquable paraboloïde cyeloïdal, 
qui jouit de la propriété curieuse de contenir une infinité de 
courbes algébriques, quoique ce soit une surface transcendante. 
Je lasserais votre patience longtemps avant d’avoir épuisé mon 
sujet, si je voulais analyser les autres questions géométriques 
(7) L., (4), VU, 203-211. (*) EP., XVII, 29e cahier, 121-156. 
(°) CR. XLI, 55-58, 274-276, 1019-1023, 1155; EP., XXI, 57e cah., 
129-168. 
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