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l'ouvrage est le mème que celui de la Géométrie de Legendre. 
Comme Legendre, mais d’une manière plus systématique encore, 
l’auteur introduit partout, à la place des relations entre les gran- 
deurs, les relations entre les nombres qui les mesurent; et, en 
conséquence, plus encore que son illustre prédécesseur, il ose 
recourir à l’Algèbre. C’est, on le voit, l’antithèse de la méthode 
euclidienne. De plus, M. Catalan améliore, en une foule de points 
de détail, l'enseignement traditionnel de la géométrie ; il substitue 
partout, par exemple, la méthode des limites aux méthodes plus 
lentes des anciens et de Legendre. Mais ce n'est pas là ce qui 
est vraiment original dans son ouvrage. Ce qui le caractérise 
essentiellement, au point de vue philosophique, c'est la manière 
dont sont définies les longueurs des lignes courbes, les aires des 
surfaces courbes ou des surfaces planes terminées par des courbes, 
et les volumes des corps ronds. Pour lui, « l'aire d’une figure 
plane terminée par une courbe est la limite des aires que l'on 
obtient, en inscrivant à cette courbe une série de polygones con- 
vexes dont les côtés diminuent indéfiniment, de manière à devenir 
moindres que toute grandeur donnée ». Cette limite est unique 
d’ailleurs, d’après un théorème de Newton, retrouvé par Cauchy. 
L'auteur définit de même les longueurs des lignes courbes, les 
aires des surfaces courbes, etc. 
Cette idée nouvelle de M. Catalan scandalisa- ses collègues 
de 1845. L'un d'eux disait, à cette époque, en parlant de la 
Géométrie : « Peut-être trouvera-t-on que l’auteur a été trop loin 
en introduisant l’idée de limite dans les définitions mêmes (55) ». 
L'impression générale fut que, en effet, il avait été trop loin. 
Sous l'influence des écrits de Duhamel, la manière de voir de 
M. Catalan ne fut admise qu'à moitié, c'est-à-dire pour les 
longueurs et les aires courbes, mais non pour les aires planes 
et les volumes. Mais à la fin, la logique a triomphé, grâce 
surtout à la publication de la seconde édition des Éléments de 
Géométrie en 1866, qui a révélé à beaucoup de professeurs les 
vues complètes de M. Catalan sur ce point. Aujourd’hui, tout le 
(55) Tuisaucr, NAM., (1), II, 583-584. 
