monde admet qu'il faut, dans l'exposition de la géométrie, ou 
bien revenir à la méthode euclidienne, ou bien y employer 
systématiquement l’arithmétique et l'algèbre, et, dès lors, intro- 
duire la notion de limite dans les définitions, même pour l'aire 
du triangle et le volume de la pyramide. 
Mais cela suppose, dira-t-on, toute une théorie des préliminaires 
des nombres incommensurables. Sans doute. Et, précisément, 
au point de vue philosophique, le mérite principal de son petit 
Manuel d’Arithmétique et d’Algébre, c'est d’avoir exposé cette 
théorie, comme il le fallait, il y a trente ans, à une époque où 
personne n'y songeait. Dans ce petit ouvrage, qu'il faut compléter 
par les premiers chapitres du Manuel des candidats à l’École 
polytechnique, M. Catalan définit d'abord, avec Cauchy, le nom- 
bre incommensurable, comme la limite d’une suite de nombres 
commensurables; il s’aide, auxiliairement au moins, d'une 
représentation géométrique, pour faire saisir l'existence de cette 
limite. Ensuite (et c'est ce qu'il y a d'original dans sa manière de 
voir), il transporte de nouveau l'idée de limite dans la définition 
d’un produit de deux incommensurables en disant que c'est la 
limite du produit des nombres commensurables dont les facteurs 
sont les limites. Récemment, Heine, Dedekind, G. Cantor, 
Lipschitz et, après eux, beaucoup d'autres, ont développé des 
idées semblables, sans se douter, semble-t-il, que notre collègue 
les avaient devancés dans son Arithmétique. 
Nous devons signaler, absolument dans le même ordre d'idées, 
la manière dont M. Catalan a défini les opérations sur les 
quantités négatives. L'un des premiers encore, le premier peut- 
être, il a remarqué, comme pour les incommensurables, qu'il 
faut prendre pour définition les égalités, qu’il y a un siècle, 
on voulait démontrer, parce que l’on posait mal la question. De 
cette manière s’évanouissent toutes les difficultés qui tiennent à 
ce point de doctrine. Sous une forme ou sous une autre, c'est 
ainsi que procèdent maintenant tous Îles auteurs au courant de 
la question. Les uns, toutefois, énoncent et les autres sous-enten- 
dent cette remarque essentielle : les conventions relatives aux 
quantités négatives ne sont pas arbitraires; bien plutôt elles 
