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En 1861, l'Académie des sciences de Paris mit au concours 
une question ainsi formulée : Perfectionner, en quelque point 
important, la théorie géométrique des polyèdres. Pendant plus 
d’un an, M. Catalan ne trouva rien sur cette question qui sem- 
blait épuisée après les travaux de Cauchy, de Poinsot et de 
M. Bertrand. Mais enfin, un certain jour, un commencement de 
lumière se fit, et, peu à peu, il imagina la construction d’une sorte 
d'échiquier dont les pièces, disposées d’après ecrtaines règles, 
correspondent aux éléments du polyèdre supposé; si toutes ces 
pièces ne peuvent être placées, le polyèdre n'existe pas. Cette 
ingénieuse découverte ramenait la théorie de la possibilité des 
polyèdres à l'analyse indéterminée du premier degré et à un 
problème analogue à celui du Cavalier, du Solitaire, ete. 
M. Catalan expose, dans son Mémoire, cette réduction de la 
question, en la faisant précéder d'une discussion originale et 
très complète des conséquences de la célèbre formule de Des- 
cartes et d’Euler, sur la relation qui existe entre les nombres 
d’arêtes, de faces et de sommets d’un polyèdre. Nulle part, 
croyons-nous, il n’a été plus clair, plus simple et plus coneis que 
dans cette première partie du travail que nous analysons. 
La seconde est une monographie des polyèdres semi-réguliers, 
c’est-à-dire ayant des faces régulières et des angles égaux ou des 
angles réguliers et des faces égales. Pappus a fait connaitre som- 
mairement, et Képler a décrit, en quelques pages, treize polyé- 
dres semi-réguliers du premier genre dont l'invention remonte 
à Archimède (Harmonia mundi, HW, 28; Œuvres, V, 125-126). 
Lidonne (Tables de tous les diviseurs des Nombres, calculés depuis 
un jusqu'à cent deux mille. Paris, in-8°, 1808; voir p. 185-218) 
en fit aussi un catalogue assez informe, en ajoutant treize fois, 
aux données de Pappus et de Képler, cette proposition fausse : 
Les polyèdres d’Archimède sont à la fois inscriptibles et circon- 
scriptibles à une sphère (*). Enfin, d’après Baltzer, treize polyé- 
dres du second genre, conjugués des précédents, avaient été 
signalés, en 18592, dans la Trigonométrie de J.-H.-T. Müller. 
(”) 1 affirme aussi qu’il ne peut y avoir plus de treize polyèdres semi- 
réguliers (p. 186). 
