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sur quelques produits infinis (54). Tous ceux qui ont quelque 
teinture d'analyse supérieure connaissent, au moins de nom, les 
Fundamenta de Jacobi. La seconde partie de cet ouvrage im- 
mortel contient les développements en série et en produits infinis 
des fonctions théta et d’une foule de quantités qui en dépendent. 
Le rapprochement de divers développements obtenus conduit 
Jacobi à des théorèmes d’arithmétique supérieure, sans aucune 
connexion apparente avec la théorie des fonctions elliptiques, 
celui-ci, par exemple : tout nombre entier est un carré, ou la 
somme de deux, trois ou quatre carrés. 
C'est dans cette région, d'abord difficile, où la haute analyse 
et l’arithmétique supérieure se touchent, que M. Catalan à 
pénétré et d'où il a rapporté une ample moisson de faits nou- 
veaux. L’idée-mère qui lui a servi dans ses Recherches sur quel- 
ques produits infinis est d’une simplicité extrême. Il décompose 
les expressions à étudier en un produit de plusieurs expressions 
de même genre. Les facteurs et leur produit étant transformés 
en séries, il obtient un produit de plusieurs suites infinies égal à 
une autre suite infinie, résultat d’où découlent tout naturellement 
une foule d’identités. À chacune d’elles correspond un théorème 
d’arithmétique supérieure. En voici un comme spécimen : Quand 
un nombre n'est pas pentagonal, il admet autant de décomposi- 
tions en un nombre pair qu'en un nombre impair de parties iné- 
gales. Le Mémoire contient plus de quatre cents formules numé- 
rotées, plus ou moins importantes, et les Mémoires ultérieurs de 
l’auteur en renferment peut-être encore une centaine; ear il est 
revenu à plusieurs reprises sur ce sujet, pour ainsi dire, inépui- 
sable, entre autres dans son écrit sur la constante d'Euler. 
Tels sont, avec les Mémoires sur le caleul des probabilités 
cités au début de cette étude, les principaux écrits de M. Catalan 
sur l’analyse et la théorie des nombres, pendant la période qui 
nous occupe. L'auteur des belles recherches sur les élassoïdes et 
(6) MB., XL, 14-427; comp. MM., 186-187; NAM., (2), XIII, 518-595. 
