Supposons a, b, c positifs. Alors les solutions positives, nêves- 
sairement en nombre limité, sont déterminées par les inégalités 
(42 ; (71 
À cause de 
ax + bB—c, 
on a 
6 ax — € 
Tr 3 
(7 ab 
done les inégalités (3) équivalent à celles-ci 
ax ax — C 
on an 0 Gras (4) 
La différence entre les deux limites de 0 est +. Conséquem- 
ment, la partie entière de D; ou celte partie entière augmentée 
d’une unité, indique le nombre des valeurs que l’on peut attribuer 
à 0. En d’autres termes : le nombre des solutions positives de 
Péquation (1) est égal à l’un des deux quotients entiers de € 
par ab (*). 
Addition. — (Septembre 1865.) 
Considérons d'abord le cas où c serait un multiple de «b: 
c— abq. On peut prendre 6 — 0, « — bg; et il est clair, par les 
lormules (2), que 8 peut recevoir les g+1 valeurs 0, 1,2, … q (**). 
En second lieu, supposons c — abq + c', c' étant positif et 
moindre que ab; puis prenons simultanément les équations 
ax + by = abq + c', (A) 
ax" + by —=c", (B) 
(*) Ce petit théorème, que je trouve dans mes notes de 18539, est souvent 
attribué à M. Hermite. J'ignore si ce profond Géomètre l’a publié quelque 
part. 
(‘*) A vrai dire, les solutions x = 0, y = aq; x = bq,y = 0 ne sont pas 
essentiellement positives ; néanmoins on peut les compter, parce qu'elles sont 
non-négalives. 
