d’où résulte celle-ci : 
a(x — x") + b(y — y) = abq. (C) 
Si l'équation (B), qui ne peut avoir plus d’une solution posi- 
tive, en a réellement une, nous aurons, en désignant par &’, Ê’, 
ces valeurs positives de x, y' : 
y—$ —08, x —x —bq—b»; 
ou 
y—=6 + a, x—x + b(q — 6). (D) 
A cause de €’ € ab,on a 
B <a, D ND: 
donc les deux dernières formules donneront des valeurs positives 
Shlonfait0= 0102.10: 
Ainsi, quand l’équation (B) admet un système de valeurs posi- 
tives, l'équation (A) en admet q + 1. 
Si l'équation (B) n’a aucune solution positive, on peut supposer, 
dans les formules (D), 
D LEONE ET 
ceci résulte des préliminaires de la théorie. Par suite, les seules 
valeurs admissibles pour 8 sont 0, 1,2, 5, q — 1. Donc, iorsque 
équation (B) n’admet aucune solution positive, l’équation (A) en 
admet seulement q. 
En résumé : 
1° Si ce — qab, l’équation 
ax + by = c 
admet q + À solutions non-négatives ; 
2° Si e— qab + c', cetle même équation admet 4 + 1 ou 
q solutions positives, suivant que l’équation auxiliaire 
ax" + by —c 
a ou n’a pas de solution positive. 
