XIII. — Théorème de géométrie. (1840) (‘). 
De toutes les pyramides ayant même hauteur et même angle 
polyèdre au sommet, la plus petite en volume a pour centre de 
gravité de la base, le pied de la hauteur. 
La base est déterminée par un plan tangent à une sphère ayant 
pour centre le sommet de la pyramide, et pour rayon la hauteur, 
que nous adoptons comme unité. Le sommet étant pris pour 
origine des coordonnées rectangulaires, soient x, y, z les coor- 
données du point où le plan de la base touche la sphère : nous 
aurons | 
LH YILz — 1. (1) 
Soient «, B1, 7, les angles que forme, avec les axes, une 
première arête, et 21, Y1, z1 les coordonnées du point où elle 
perce le plan tangent. Nous aurons encore 
LA + YY + Zu =], (2) 
1 Yi 71 l (5) 
== — — 15 ) 
COS&; cos 5; cos >, 
en représentant par /, la longueur de l’arête considérée. D'après 
ces équations, 
| 
— — X COS a + Y COS Bi + ZT COS F1. (4) 
1 
Projetons, sur le plan des xy, la base de la pyramide. C étant 
l'aire de cette projection, la formule de Stainville donne 
2C — D (Xi Ye S Lo Yi). (5) 
Soient 9,0, … les rayons vecteurs menés, de l'origine des 
coordonnées, aux sommets du polygone situé sur le plan des xy; 
(‘) Publié dans les Nouvelles Annales de mathématiques, t. VI. Cette pre- 
mière rédaction présente quelques inexactitudes. 
