XV. — Quelques théorèmes empiriques. (1842-43.) 
En étudiant la série 
1 { 1 1 À 
LE — 2 + ——— + — +, 
9.4 17.800 8.904516, 12247925 
dont le terme général a la forme nn p étant une puissance (*), 
je fus conduit, par induction, au théorème suivant : 
Deux nombres entiers consécutifs, autres que 8 et 9, ne 
peuvent étre des puissances exactes. Après avoir perdu près 
d’une année à la recherche d’une démonstration qui fuyait 
toujours, j'abandonnai cette recherche fatigante. Néanmoins, elle 
ne fut pas complètement inutile, parce qu’elle me conduisit à 
quelques propositions sur la Théorie des nombres, dont Je 
donne aujourd'hui les énoncés. On voudra bien regarder ces 
propositions comme de simples théorèmes empiriques, attendu 
que, depuis longtemps, les démonstrations, ou plutôt les tenta- 
tives de démonstration, de la plupart d’entre elles, sont égarées. 
Vrais ou faux, ces théorèmes empiriques pourront peut-être 
provoquer d'utiles travaux. 
I L’équation (x+1) —x 1 est impossible en nombres 
entiers, excepté pour x —0, x—1. 
I. X'— y" —1 est impossible en nombres entiers, excepté pour 
XV 2100): 
HI. L’équation x' —1—P, dans laquelle p et P sont premiers, 
n’est vérifiée que par x—=2, p—9, P=7. 
IV. x°—1—P?2 est impossible. 
V. L’équation x?— 1=—p" n’est vérifiée que par x=5,p=—2, 
MSN IouxX—2 D — 0m — 17 
VI. L’équation x° — q"—1, dans laquelle p et q sont premiers, 
est impossible, excepté lorsque x=5, p=2, q—2, y= 5. 
(*) Journal de Liouville, t. VII, p. 9. 
(**) On ne compte pas la solution insignifiante : = 1, y = 0. La même 
restriction subsiste pour quelques-uns des énoncés suivants. 
