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XVII. — Théorème sur les surfaces développables. 
(1843) l‘). 
LEMME. — Soit un triangle sphérique ABC (**), dans lequel le 
côté BC —e est infiniment petit, ainsi que l’excès d du côté AB 
sur le coté AC. On a 
0) 
cos B— -—. (1) 
€ 
La formule fondamentale donne 
cos b — cos(b + d) cos 6 + sin(b + d)sine.cos B; 
ou, si l’on néglige les infiniment petits du deuxième ordre : 
cos b— (cos b — 9 sin b) + (sinb)ecosB, 
ou 
0 — — 9 +e cos B. 
THÉORÈME. — Soient : p, le rayon de courbure d’une ligne c, 
tracée sur une surface développable >; R, le rayon de courbure 
de la transformée par développement ; 6, l’angle du plan oscula- 
teur de © avec le plan tangent à È. On a 
pe —=R cos 6. (2) 
Remplaçons la courbe c par un polygone ABCD... Soit BG 
une génératrice de È : ABG est le plan tangent; ABC est le 
plan oseulateur. 
Soient encore BB’ le prolongement de AB : CBB'—e est 
l'angle de contingence de c. Quand on développe à, les angles 
(‘) Publié dans les Comptes rendus (t. XVII). La première démonstration 
exigeant, pour être complète, d'assez longs développements, nous en propo- 
sons une autre, qui remonte à 4874, et dont le principe se trouve dans 
la Géométrie descriptive, de La Gourneric. 
(**) Le lecteur est prié de faire les figures. 
