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XXII. — Sur la partition des nombres. (1848) (‘). 
Soit (n, q) le nombre de manières de former une somme », 
avec q nombres entiers, inégaux; et soit [n, qg] le nombre de 
manières de former cette même somme par l'addition de g nom- 
bres entiers, égaux ou inégaux. On peut toujours supposer que 
les g nombres entiers qui concourent à former la somme n sont 
rangés par ordre de grandeur non décroissante. Par exemple, sil 
s’agit de former la somme 57 par l'addition de 5 entiers, on 
pourra considérer ces groupes : 
19, 12, 15; 
h, 8, 24; 
mais non CeUx-Ci : 
13 14920042; 
DA NE MHS: 
Cela posé, on aura les théorèmes suivants (**) : 
THéorÈE L. (7, q) —{(n — q, q —1)+(n — q, q). (1) 
Démonstration. — Si l'on considère un groupe quelconque 
formé de q termes et que l’on retranche une unité de chacun 
d'eux, on obtient un nouveau groupe dans lequel la somme des 
termes est seulement n — q. D'ailleurs, ce nouveau groupe est 
formé de q — À termes ou de g termes, suivant que le premier 
groupe commençait par | ou par un nombre supérieur à 1. 
La même remarque subsiste pour chacun des groupes proposés ; 
donc, etc. 
THÉORÈME Il. [n, qg]—[n—1,q—1]+[n— 09,91]. (2) 
Démonstration. — Partageons nos groupes en deux séries ; 
mettons, dans la première, ceux qui commencent par | ; et, dans 
la seconde, ceux qui commencent par un nombre supérieur à 4. 
(‘) Les démonstrations suivantes, que je retrouve dans une lettre 
adressée autrefois à M. Terquem, m'avaient été demandées par ce savant 
Géomètre. 
(**) Ils ont été démontrés par Euler. 
