MAILS APS 
Sapprimons le premier terme dans tous les groupes composant 
la première série, puis retranchons ! de chacun des termes for- 
mant les autres groupes. Nous obtiendrons ainsi deux espèces de 
sommes : les unes égales à n — 1 et composées de q — 1 termes, 
les autres égales à n — q et composées de q termes. C'est là ce 
qu'exprime l'équation (2). 
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Pr 
Tuaéorème I. (n, q) = E MO Ge à 1 (5) 
Démonstration. — Soit un groupe formé de q termes inégaux, 
dont la somme est n. Retranchons O0 du premier terme, 1 du 
deuxième, 2 du troisième, et ainsi de suite. Il est évident que 
nous obtiendrons un nouveau groupe dont un terme quelconque 
sera égal ou inférieur à celui qui le suit (*). D'ailleurs, la somme 
des termes de ce nouveau groupe est 
n—(U{+2+5+... + q—1) 
ou 
qg—1 
— : 
— 
L'équation (3) est ainsi démontrée. 
Tuéorème IV. [aq] = Ÿfn— qi]. (4) 
i—1 
Démonstration. — Prenons un groupe de q termes, égaux ou 
inégaux, dont la somme soit n, et dont les q — à premiers soient 
égaux à {. Si nous retranchons 1 de chaque terme, nous forme- 
rons un nouveau groupe de qg termes, ayant pour somme # — q, 
et dont les g — à premiers termes seront des zéros; ou, ce qui 
est équivalent, un groupe composé de à termes, égaux ou inégaux, 
et dont la somme est x — q. Donc, etc. 
THéorenE V. (7, q) — > (n— iq, q —1), (>) 
p étant le quotient entier de n + À par q. 
(*) Reciproquement : Si, à des termes rangés par ordre de grandeur non 
décroissante, on ajoute, respectivement, 0, 1, 2, … unités, les nouveaux 
termes ainsi formés seront inègaux et croissants. 
