IL. Soit R le rayon du cylindre pour lequel « — 45°. Dans ce 
cas, CO — OM" —R; donc, en général, 
CO . OM = R°. (3) 
III. Cette relation est symétrique; en sorte que CM est le rayon 
de courbure commun des hélices décrites par les points G, M. 
IV. On a, par l'équation (1), 
OM — CM cos°«. 
De même, f étant l'angle formé par la tangente CT avec sa 
projection QT : 
OC — CM cos” 6. 
Mais 
OM + OC — CM; 
donc 
COS + COS EG — 1. 
Ainsi, les angles aigus S, T sont complémentaires; d'où il 
résulte que les plans tangents à l'hélicoïde, aux points M, C, 
sont perpendiculaires entre eux (*). 
V. Le lieu des tangentes MS est évidemment un paraboloïde 
hyperbolique : ces deux surfaces ont, en chacun des points de 
OM, même plan tangent; c'est-à-dire que, suivant l'expression 
consacrée, elles se raccordent le long de la génératrice commune. 
Conséquemment, on peut toujours déterminer un hélicoïde de 
raccordement avec une surface gauche donnée : l’axe de l’hélicoïde 
est la commune perpendiculaire à la génératrice donnée et à la 
génératrice infiniment voisine ; le plan directeur est perpendicu- 
laire à l'axe, etc. (**). 
(‘) Ce résultat est compris dans un théorème de Chasles (Journal de 
Liouville, t. I, p. 415). 
(*) Aujourd'hui, l’on dirait simplement : L’axe est la perpendiculaire au 
plan asymptotique, passant par le point central (mai 1866). 
