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XXIV. — Sur l’hélicoïde à plan directeur. 
TuéorÈème. — L’hélicoïde à plan directeur est la seule surface 
gauche à courbure moyenne nulle (*). 
Soient G, G', G’' trois génératrices consécutives de la surface 
cherchée S. Par un point m, situé sur la première, faisons passer 
un plan P, perpendiculaire à cette droite G, et soient m’, m'' les 
points où il coupe G’, G’. La section normale passant par G 
ayant une courbure nulle, il en doit être de même pour la section 
faite par le plan P; c'est-à-dire que les points m, m’, m'' sont en 
ligne droite (**). Conséquemment, la surface du second degré, 
osculatrice de S le long de G (***), est un paraboloïde rectangu- 
laire, dont l’un des plans directeurs est le plan P, et dont l'autre 
plan directeur, Q, est perpendiculaire à P. Trois génératrices 
consécutives quelconques étant parallèles à un même plan, il 
s'ensuit que la surface S admet un plan directeur, savoir, Île 
plan Q. 
Remarquons maintenant que, parmi les génératrices du para- 
boloïde osculateur, il en est une qui rencontre orthogonalement 
G, G’, G'’; done la surface S est un conoïde droit. 
Le reste est évident. 
(‘) Dans le Journal de Liouville (t. VII, p. 205) le même théorème est 
démontré par le calcul. A défaut d'autre mérite, cette première démonstra- 
tion a celui de la priorité. Néanmoins, on peut lire, dans le 52€ Cahier du 
Journal de l'École polytechnique (1848, p. 154) : « Meunier a le premier 
démontré cette proposition remarquable dans son Mémoire sur les surfaces, 
qui a été inséré au Recueil des Savants étrangers ». Cette assertion si 
précise atteste un grand effort d’imaginative : Meusnier prouve seulement 
que, parmi les surfaces engendrées par une droite Lorizontale, l'héliçoïde 
satisfait seul à la propriété énoncée; ce qui est bien différent. 
Pour comprendre le procédé que je relève ici, on doit se rappeler les 
maximes de Bertrand et de Raton (La Fontaine, livre IX, fable XVII) — 
(mai 1866). 
(*) Autrement dit, la surface S est de telle nature que toute section 
plane, perpendiculuire à une génératrice, présente une inflexion au point où 
elle coupe cette génératrice. Cette propriété appartient, en effet, à l'hélicoïde 
(mai 1866). 
(°””") Leroy, Géomitrie descriptive, p. 560. 
