at Pr PS 
L'équation (15) exprime done ce fait évident : 
Si l’on prolonge suffisamment la partie, le joueur À finira par 
gagner les a points qui lui manquent. 
VIII, Revenons à la formule (15), ainsi écrite : 
p = Cogs-1,5 1 2 BE + Cou, ga TR + Copsgn sa at? ft + … (17) 
RO O6 eric Dim 0 cestilaiprobae 
bilité que le joueur B, ayant gagné b — 1 points en a + b—1 
coups, gagnera encore un point au coup dont le rang est a + b; 
DO OC a Nc BE urobabiliterque 
le joueur B, ayant gagné b — 1 points en a + b coups, gagnera 
encore un point au coup dont le rang est a + b + 1; etc. 
Done, le second membre de la formule (7) représente la 
probabilité que le joueur B gagnera b points, en un nombre de 
coups égal ou supérieur à b + a. Si l'on se reporte à l'énoncé 
du problème, on voit que cette probabilité est la même que celle 
du joueur À, de gagner a points en à + b — 1 coups. 
IX. Soient « — 5 —{. Alors, comme le fait remarquer 
Laplace, on peut imaginer une urne renfermant une boule 
blanche et une boule noire; la première pour A, la seconde 
pour B : à chaque tirage, on remet, dans l’urne, la boule tirée. 
Cela posé, la comparaison des valeurs (1), (17) conduit à cette 
proposition : 
La probabilité que la boule blanche sortira a fois, en a + b—1 
tirages, est égale à la probabilité que la boule noire sortira b fois, 
en un nombre de tirages égal ou supérieur à b + a (*). 
(‘) Voir une Note d'Émile Ghysens, jeune Géomètre enlevé à la Science 
(Nouvelle Correspondance mathématique, t. IV, p. 85). 
