AMG 
XXXI. — Sur la somme des puissances semblables 
des nombres naturels. (1855) (‘). 
La plupart des Traités d'Algèbre donnent la relation générale 
‘p+tl)p p+l 
qu + 1 fe +11 + Ro 
Manet 
dans laquelle S, représente la somme des puissances p des n 
premiers nombres entiers. Cette relation permet de calculer, 
assez rapidement, les valeurs de S;, Se, S;, S,; mais elle devient 
presque illusoire dès que l'indice p surpasse 4. Il y a dix ans, 
M. Puiseux, probablement frappé de cet inconvénient, donna, 
dans le Journal de M. Liouville, la valeur de S,, en fonction 
explicite de n et de p. Malheureusement, la méthode employée 
par ce savant Géomètre est assez compliquée (**); en outre, les 
valeurs qu'il trouve, pour les coefficients de $,, très satisfaisantes 
en théorie, le seraient fort peu s’il s'agissait de passer aux 
applications numériques (***). 
La méthode suivante, dont le germe se trouve dans le grand 
ouvrage de Lacroix, sera peut-être, à cause de sa simplicité, 
capable d’intéresser les Géomètres. 
(*) Les quatre Notes suivantes ont paru dans divers Recueils. Si je les 
réimprime (avec quelques modifications), c’est parce qu’elles me semblent 
pouvoir être regardées comme les prolégomènes d’une théorie des Nombres 
de Bernoulli. 
(”*) Cette observation , qui n’est pas une critique, s'applique également 
au Mémoire de M. Pépin, inséré aux Nouvelles Annales (janvier 1856). 
Du reste, l’auteur, dont je n’ai connu le travail qu'après avoir terminé le 
mien, dit expressément, en parlant de la formule trouvée par M. Puiscux : 
« L'expression générale de la fonction 5,,4 est fort mal appropriée au 
calcul ». 
(**) Par exemple, le coefficient 550 exigerait ces opérations : 
46—5.3+43.96 1  4096—2187+192—1 92100 ip 
= = —— = ))(. 
1.2.5 6 6 
RS 
6 
