uis, qu’au moyen de celle-ci, on passe à une troisième progression 
) 9 
1° 
as DAME Na 20, 2.5 
et ainsi de suite, on finira par retomber sur la progression primi- 
tive. De plus, le nombre des progressions différentes divise le 
nombre des entiers inférieurs et premiers à d. 
1° On vient de voir que les termes initiaux a’, a'’, a”, … sont, 
comme a, inférieurs et premiers à d; donc ils se reproduisent 
périodiquement, en tout ou en partie. Soit a” — af. A cause 
de 
at) ae que D at*—1) ze am-0 6 
al”) RE —_— —  —]— ]— —— —"— al") Em 4) 
j} fa 
at—1) PEER al ne (me LA Len 1e)o Re 0, 
On à 
équation absurde, à moins que 
at!) — am). 
Ainsi, quand deux quotients al"), a®) sont égaux, les quotients 
at, a, qui les précèdent respectivement, sont égaux : a fait 
donc partie de la période des quotients. 
2° Soient 
DOG 0, PQ 00. pa QD Cat ANSE) 
n étant le nombre des termes de la période. On conclut, de ces 
égalités, 
pin) Le + pi + 
a 
d Del 
Si done, dans le système de numération dont la base est p, on 
réduisait en pécrmALes (*) la fraction <, on trouverait 
= O,itr—1) 2) j'iim-Dte2) 
Or, on sait que le nombre n des termes de la période décimale 
(‘) C'est-à-dire en fractions de la forme D 
