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Pour démontrer cette proposition, évidente si p—q, nous 
distinguerons deux cas : 
1° p>q.Ona 
Pad Bb 0 4) PT NPD ee 9 Re) 
P B (p — 4; q) Dh TINNTENTENt) 
donc le second membre de la formule (A) égale 
etc.; 
m(m—1) 
1.2 
m 
LATE Fi B(p—q+1,q)+ Bpq2.0)— | 
1 
a Re MC ner g-at( — 4j 1(1 — 6)" do 
HDESCE ie 
B(p—q;,q) 
_B(p— 9; m + q) _ B(m+q,p—4). 
B(p — 9; 9) B(q:p— 4) 
Ainsi, l'équation (1) se réduit à 
B(p,m) _ B(m+qp—9). G) 
B(g;m)  B(g;,p—9q) ; 
Mais, en vertu d’un théorème d'Euler : 
B(p,m)  B(p,m +0) 
== — y 
B(q,m) B(q,m+p) 
B(m+g,p—g) B(m+gp). 
B(q, p — q) B(q,m + p) 2 
donc l'équation (5) est identique. 
2° p < q. L'équation (A) étant démontrée pour les valeurs 
de q inférieures à p, il suffit de faire voir qu’elle subsiste quand 
on y change q en q + 1. A cet effet, appelons © (m”, p, q) le 
second membre : on trouve aisément 
o (M, p, q) — o (m, p, q + 1) — Us (Îm—1,p+1,qg+1) (4) 
Ê 
D'autre part, 
B (p, m) B(p, mn) m B(p, m) m 
RER = (mr, 9 À) 
B(g,m) B(g+1l,m) q B(q, m) 
