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Par le changement de p—q en m, de m en p— q, et dep en 
m + q, celle-ci devient 
a 2 a A Pme D mm 
a me, mms ——————_—  —_—_——— 
B(q, p — q) AP 1.2 p(p + 1) 
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d’où, à cause de la formule (A) : 
Bim+q;p—gq) B(p, m). 
B(q; p — q) B(q, m)” 
ce qui est précisément l'équation (3). Ainsi, le Théorème d'Euler 
donne l’une des formules (A), (A') au moyen de l’autre; et, 
réciproquement, ce théorème est une conséquence des deux 
formules. 
V. La formule (A) permet de développer, en séries conver- 
gentes, l'intégrale eulérienne de première espèce et son inverse. 
En effet, si l’on suppose q entier, 
MS CE) 
BG MN EE EE RES PRE OS VE 
Eh mm +1)..(m+q—1) 
done, par le changement de m en q et de q en m: 
DO re ere LD er vom LL 
qg(g+1)...(qg+m—1) 1 p 1.2 p(p + 1) 
m est un nombre entier arbitraire. Si, par exemple, m— 1 : 
a DE il —1) 1 —1)(q—2) 1 
Bel] te ) q(q \g- 
ÉSLER EEE La 60 | fa(((O 
p—1 1p 1.2 p+1 1.2.3 p+2 fo 
1 =D (D) 
B(p,q) 1.2.5... (m—1)[ 1 m 1.2  m(m+i1) 
et 
fee PET OED à  (m) 
B(p, q) 1 1 1.2 1.2 
