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XLIX. — Rayon de Ia sphère circonscrite à un 
polyèdre semi-régulier. 
(Mars 1862) (*). 
Le centre O de la sphère, les centres C, C' de deux faces 
adjacentes, et le milieu P de l’arête c commune à ces deux faces, 
sont les sommets d'un quadrilatère OCPC", dans lequel les 
angles C, C’ sont droits : ce quadrilatère est donc inscrit à la 
circonférence décrite sur OP comme diamètre. 
Représentons par p, q les diagonales OP, CC'; par « l'angle 
CPC’; par a, a’ les apothèmes CP, C'P des faces dont C, C’ sont 
les centres. Soient, en outre, n, n' les nombres de côtés de ces 
faces, et n” le nombre des côtés de la face qui, avec les deux 
premières, constitue un angle trièdre du polyèdre (**). 
La diagonale OP — p est perpendiculaire au milieu de c; 
done, R étant le rayon de la sphère circonscerite, 
CRAN PERTE) c 
R y di (1) 
La corde GC’ sous-tendant un arc capable de l'angle «, dans 
une circonférence dont le diamètre est p, 
q—=psin«. (2) 
De plus, 
q = à + a°* — Jaa’ cos «. (3) 
La formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique 
donne ensuite, comme on le voit aisément, 
T 27 27 
COS — + COS — COS — 
n ñn n 
CDS GE LS (4) 
MODE ME à 
Sin — Sin De 
n n 
(*) Question résolue à l’occasion de mon Mémoire sur la théorie des polyèdres 
(Journal de l’École potytechnique, 41° Cahier). 
("*) Voir le Mémoire cité. Voir aussi la brochure intitulée Histoire d’un 
concours. 
