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LVIII. — Sur les lignes de courbure de l’ellipsoïde. 
(Mai 1867.) 
I. On sait que, À, x, y étant les angles formés , avec les axes 
de coordonnées, par la normale MN à une surface quelconque $, 
les lignes de courbure de cette surface peuvent être ainsi repré- 
sentées : 
dx dy dz 
= (1) 
d.cosx d.cosu  d.cos> 
Introduisons, comme nouvelles variables, le rayon vecteur w et 
la distance v de l'origine au plan tangent en M; de manière que 
= x + y + 2, (2) 
U— ZX COS À + y COS & + Z COS ». (5) 
La normale étant perpendiculaire à l'élément MM de la ligne 
de courbure, 
cos 1. dx + cos w. dy + cos ». dz = 0; 
et, par conséquent, 
dv = xd (cos à) + yd (cos w) + zd (cos »). (4) 
La valeur commune des rapports (1) est donc 
xdx + ydy + gx udu 
2 
xd (cos à) + yd (cos u) + zd (cos :) dv 
et l'on peut prendre, comme équations des lignes de courbure, 
dx dy dz udu 5) 
a = ——— = ——————…— — — J 
d.cosx d.cosx d.cos? dv 
IL. Dans le cas de l'ellipsoïde : 
x° a 2 z°? 
C0 ON rie (6) 
x° Vi 7° 1 
AE ent on % 
