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De ces équations, jointes à la relation (2), on tire 
b°c° 
— + — D — 6° 
mn 
2 4 
D = À ———— ——. 8 
ns @ 
De plus, 
VX vdx + xdv 
COS——, À(C0s 1) = —————; 
a? a 
donc 
a°dx udu 
———————— —= —— 
vdi + xdv dv 
ou 
(ado — vudu) xdx = ux* dudv. 
Si l’on remplace x? et xdx par leurs valeurs, on trouve, après 
quelques réductions, 
uvidu® — uv (a? + b? + © — uw?) dudv + ab'édu — 0. (9) 
Telle est l'équation différentielle des lignes de courbure de 
Pellipsoïde, rapportées aux variables w, v. 
III. Pour la simplifier, posons 
2p°? 2 
UE + à + + c, =: (10) 
il vient 
VdU? — UdUdV + dV°—0, 
ou 
UE} A 11 
me TS (14) 
Cette équation, qui rentre dans la classe considérée par 
Clairaut (*), a pour intégrale : 
1 
U= mV + —; 
m 
m étant une constante arbitraire. 
(‘) Il y a quelques années, M. Mansion a démontré ee beau théorème : 
Toute équation du premier ordre est réductible à l’équation de Clairaut (Bul- 
letin de l'Académie de Belgique, février 4877). (Octobre 1884.) 
