— 258 — 
La somme cherchée est donc 
[A+ Uut(ué — v?)]utdu? + Quvdu de + [1+ Vror(u? — u?) Ju*dv” ; 
et, par conséquent, 
> a’dx° 
= (udu + vd) + (u° — v?) (Uuidu? — V'védv?). (12) 
IV. Soient !, p les distances du centre O à un point quel- 
conque M et au plan tangent en M (*). Soient, en outre, ds, ds’ 
les éléments MM”, #m° d'une courbe et de sa transformée sphé- 
rique, déterminée par les formules 
les équations (7), (8), (10), (11) deviennent : 
PE à? + D? + © — u? — v?, (7°) 
puv = abc, (8) 
ds = (n°? — v°) [Uu?du? — V'v*dv°|, (10") 
ds"? — (ni? — v°) [Udu? — V?dv°]. (11) 
V. Considérons, sur l'ellipsoïde, deux espèces de courbes : les 
unes, intersections de cette surface par des sphères concentriques 
avec l’ellipsoïde; les autres, lieux des points de contact des plans 
tangents dont la distance au centre est constante. D'après les 
relations (7°), (8), les équations de ces courbes sont, respecti- 
vement, 
u° + v° — const (“*), uv — const. 
Ces mêmes relations (7!), (8') expriment, d'ailleurs, que les 
parallélipipèdes ayant pour arêtes 1, u, v ou p, u, v, ont les 
diagonales constantes ou un volume constant. 
(*) Le lecteur est prié de faire la figure. 
(‘*) Il est assez remarquable que, dans ce système de coordonnées, 
l'ellipse sphérique soit, pour ainsi dire, représentée par l'équation du cercle. 
