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F(æ) représentant, en général, l'intégrale abélienne 
ado 
SANTE meer 
IX. La combinaison des équations (10") et (18) donne 
à (uw —v) Uu'du’ 
ds — MONT SONT EU ? 
 —h 
ou 
(u° — v°) Uudu 
Vu — là 
Le second membre est la même chose que 
Uu° du Uuv° du 
Dear he Va —R _ he 
donc, en vertu de l’équation (18), 
Ur du Vo dv 
pe + —————————— 
VOTE cor 
« Ici, » dit M. Liouville, « les variables sont séparées comme 
dans l'équation même de la courbe; on a donc cette formule 
très remarquable » : 
u‘du v'dv : 
g 21 
re 2_y?)(c—u Nue) 2— 0702 —0°)(c2—v?)(v?— h?) V 
+ const. 
ds — 
Il en résulte que l'arc de la ligne géodésique s'exprime par la 
somme ou la différence de deux intégrales abéliennes. 
(") Voir, sur ce point, une Note de M. Liouville (Journal de Mathèma- 
tiques, t. IX). La plupart des résultats auxquels nous venons de parvenir 
ont été démontrés déjà par ce savant Géomètre; mais il les a trouvés en 
considérant la ligne géodésique comme la trajectoire d’un point qui ne serait 
sollicité par aucune force accélératrice; nos méthodes sont donc essentielle- 
ment différentes. 
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