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X. D'après une remarque de Joachimstal, le rayon de courbure 
d’une ligne géodésique est donné par la formule 
(4 D” 
dans laquelle »# est une constante. À cause de p4 — FR cette 
, Q 4 2 
formule équivaut à 
RR:) 
= — Const. (22) 
Si la ligne géodésique est une section principale, p = R;, et 
3 
2 
— —= Const. 
1 
Au sommet C de la section principale AOC, R,; — =, R—T: 
b6 Là 
la valeur de la constante est donc —= ; et, par conséquent, 
ac? ? 
F; bÿ le 
Rae Fe 
XI. Pour chaque valeur attribuée à la constante 9, l’équation 
(15) représente une série de lignes géodésiques. Cherchons les 
trajectoires orthogonales de ces courbes (*). 
En représentant, pour un instant, par dx, dy, 0z les différen- 
tielles relatives à la trajectoire, on a 
dxdx + dydy + dz9z = 0, dx + D dy + © dz — 0; 
a C 
d'où 
dx dy dz 
: RE PS 
HOT Ro 
— 0z — — 0y 7 5x Se ue or 
b? € c Us a b° 
(‘) IL est bon d'observer que, d’après une remarque de M. Michael Roberts, 
toutes ces lignes géodésiques sont tangentes à une même ligne de courbure 
(Journal de Liouville, t. X). Conséquemment, les trajectoires orthogonales 
cherchées sont, pour ainsi dire, des développantes de la ligne de courbure. 
