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On trouve aisément que l'équation de ces circonférences est 
ea ga [t Elo; @ 
en supposant AN 
=p — 0. 
Par conséquent, les trajectoires orthogonales des sections circu- 
laires de l’ellipsoide, ou les lignes de plus grande pente de cette 
surface, ont pour projections, sur le plan xOy, les trajectoires 
orthogonales des circonférences dont il s’agit. 
II. Le caleul ordinaire conduit à 
Go'yde — q'edy} = rpg" — p'yf — g'x)dy, (3) 
équation différentielle des trajectoires (**). 
Avant de chercher à l'intégrer, on peut reconnaitre, soit par 
le calcul, soit graphiquement, que chacune des courbes repre- 
senlée par cette équation (5): 
1° Passe par les deux foyers; 2 présente un rebroussement 
au point où elle coupe l’ellipse. 
Conséquemment : 1° les trajectoires orthogonales des sections 
circulaires de l’ellipsoïde, parallèles au plan BOE, passent toutes 
par les ombilics X, [; 2° au point d’intersection P d’une de ces 
(*) La discussion de l’équation (2) donne lieu aux remarques suivantes : 
4° Si « est compris entre 0 et = la circonférence touche en effet l’ellipse 
en deux points, symétriquement placés relativement à l’axe des abscisses; 
20 Lorsque a T la circonférence devient osculatrice à l’ellipse : son 
rayon p — D 
5° Si « est compris entre 2 et r, la circonférence est intérieure à l’ellipse; 
mais, au point de vue algébrique, ces deux courbes sont doublement tan- 
gentes l’une à l’autre; 
4° Enfin, lorsque «= +r, l'équation (2) représente les foyers de l’ellipse : 
ces points sont les projections des ombilics l’, 1 (Journal de Mathématiques, 
t. XII, p. 486). 
(**) Elle ne diffère, que par la notation, de celle qui se trouve dans la Note 
citéc [Journal de Mathématiques, t. XIL, p. 484, éq. (2)]. 
