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o étant une certaine fonction de x et de y. Soit z, cette fonction ; 
soient D, Qi T1 Sa, La les dérivées partielles de z, : d’après les 
formules (5) : 
b da da db db 
— = — Pis — —= $1, — —={4, ——— #, 5 pus ; 
a VLE Pi dx 1 dy 1 Fe 1 dy Si 
puis, au lieu de l'équation (1), 
r,dx® + 9s,dxdy + tidy° = 0. (4) 
Soient S la surface à courbure moyenne nulle, S, la surface 
qui a pour équation z, —9 (x, y). En observant que l'équation 
(4), transformée de (1), appartient aux lignes asymplotiques de 
S,, on a ce théorème : 
Les lignes de courbure de la surface S, et les lignes asympto- 
tiques de la surface Si, ont mêmes projections sur le plan xy. 
IT. Si la surface S est connue, et qu’elle ait pour équation 
f(x); onaura 
da = pidæ + qidy = —bdx + ady, 
ou 
dz, == 
VA + p+ PORTE 
puis 
Pour déterminer Y, on a la relation 
FAT LR 
RO ee SAS TU 
VA+p+ 9 dy dy 
(°) Il est plus simple de prendre 
db 
= [ve + fau [ay [ Tax. 
y 
