— 261 — 
ces deux courbes ont pour diamètre asymplotique la logarith- 
mique représentée par 
VII. La surface de révolution S, est donc telle, que ses lignes 
de courbure se projettent, sur le plan xy, suivant des circon/fé- 
rences et des rayons, projections des lignes asymptotiques de 
l'hélicoïde S. Cette propriété subsisterait pour toute autre surface 
de révolution autour de Oz. Mais il y a plus: les lignes asympto- 
tiques de Si, et les lignes de courbure de S, ont mêmes projections 
sur le plan xy; en sorte que les surfaces S, Si, sont conjuguées. 
Pour vérifier ce dernier point, j'observe qu'en vertu de 
l'équation (20) : 
Dre QU RME A ee 
uV'u + g° uV/u? + g° 
puis 
20f912 2 2 fO)y2 2 
re (Qu + g)— x Eu Sn) 
uw (u? + q°} 
(Qu + g°) «y 
Rens mes 
u5 (u? + 9°) 
Si — 
UŸ Qu + g°7) — y° (Qu? + g°) 
L—=—9g- 
3 
uÿ (u° + g°} 
L'équation des lignes asymptotiques de S, est donc 
Qui — Qu°x* + g°y*) dx* — 2 (Qu? + 9°) xydxdy 2) 
+ (ui — Dy* + g?x°) dy* = 0. 
On peut l'écrire ainsi : 
uË (dx? + dy?) — Qu? (xdx + ydy) + 9° (ydx — xdy} = 0. 
Mais, si l'on prend des coordonnées polaires, on a 
da? + dy? = du? + wda*, xdx + ydy — udu, ydx — xdy = — u°do; 
