d’où l’on conclut 
du 
do = + ——— : 
V9 + n° 
(25) 
Or, cette équation (23) appartient aux lignes de courbure de 
l’héliçoïde (*). 
VIII. Le résultat auquel nous venons de parvenir nous parait 
d'autant plus remarquable que, par une autre voie, on peut 
trouver une seconde surface conjuguée de l’hélicoide; savoir, 
le caiénoïde représenté par 
1e re). (24) 
2 
IX. On peut se demander dans quel cas la surface S, est-elle, 
comme la surface S, à courbure moyenne nulle? Pour qu'il en 
soit ainsi, z, = (x, y) doit être une intégrale de 
da mo db; 
de ae 
c'est-à-dire, de 
7 D SAN RUE AN ne à P 
VA + 9p° + 2 V1 + 9p° + 2° 
dax dy 
En développant, on trouve 
Nr, _. 
q ps+ql 
Ainsi, la surface S, qui satisfait à l'équation 
(1 + pt — 2pqs + (1 + gr —0, 
doit satisfaire encore à l'équation (25). L'intégrale première de 
celle-ci est 
z = Y(p° + qd), (26) 
Ÿ étant une fonction arbitraire. Cette équation (26) exprime que, 
pour tous les points appartenant à une ligne de niveau, l’incli- 
(*) Journal de PÉcote polytechnique, 29° Cahier, p. 145. 
