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naison de la normale à la surface, sur le plan de cette ligne, est 
constante. De là résulte que toutes ces courbes sont équidistantes 
et qu’elles se projettent, sur le plan xy, suivant des courbes 
parallèles à une première ligne donnée. 
La surface ©, représentée par l'équation (26), peut être engen- 
drée par une ligne plane G, dont un point M décrit une ligne D, 
pendant que les deux plans restent perpendiculaires entre eux. 
Si la directrice D est une ellipse, les lignes de niveau sont des 
toroïdes; ete. 
X. Soit B— F(x) l'équation de la directrice D, que nous 
supposerons située dans le plan des xy. Une parallèle à cette 
courbe a pour équation : 
G—a+(y—68)65 —0, (x —0) + (y—8#ÿ= 0" 
Dans le cas actuel, le rayon p est une fonction de z; donc 
l’intégrale seconde de l'équation (25), ou l'intégrale première de 
l'équation (26), est représentée par le système 
t—u+(y—F)F—0, (x—0)+(y— F}—/f(z), (27) 
dans lequel f et F sont des fonctions arbitraires. Dans chaque 
exemple particulier, l'élimination de « donnera l'équation d’une 
surface Ë, à lignes de niveau équidistantes, et ayant une directrice 
donnée. 
XI. La surface Z jouit des propriétés suivantes : 1° Les lignes 
de plus grande pente, toutes égales entre elles, sont situées dans 
des plans verticaux ; 2 ce sont des lignes de courbure; 3° les 
courbes de niveau sont des lignes de courbure (*) ; 4° si l’on consi- 
dère la courbe C suivant laquelle la surface touche le cylindre 
vertical, enveloppe des plans qui contiennent les lignes de plus 
grande pente, cette courbe C est une développée de la surface 3. 
C'est-à-dire que si le cylindre se déroule, C engendre 2; ete. (**). 
(*) En effet, ces courbes sont des trajectoires orthogonales des lignes de 
plus grande pente. 
(**) Voir, sur le même sujet : Remarques sur la théorie des lignes et des 
surfaces ; Note sur les surfaces orthoyonales, etc. (Novembre 1884.) 
