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VIII. De la relation (11), on peut déduire, très facilement, la 
fonction génératrice de N,,,. En effet, soient 
F(x, g)=a + Nat He HN, QE +, 
4 —1 
Fe, q—1)= a" + NN, gui at  ee N, ua + ee 
Multipliant par 1 — x" les deux membres de la première égalité, 
par x les deux membres de la seconde, on trouve deux déve- 
loppements qui doivent être identiques; donc 
F(x, q) =" F (œ, q — 1). 
1 À — x! 
Et comme 
; x 
F(x, l=x+a +x +. — 
1 — x 
la fonction géneratrice cherchée est 
x? * 
Eee ae) eue 0 
(15) 
IX. Le second membre de la dernière équation est égal au 
produit des séries 
CHA ++ + + 
DH ++ +X + 
2 
x + af + x + à + x + 
ES PERS EE AE EE DEEE LEE 
x + ati + Qt dE Qt D QE 
L’exposant de x”, dans ce produit, étant la somme des exposants 
de x dans les facteurs de chacun des produits partiels, on a ce 
théorème remarquable (**) : 
Il y a autant de manières de décomposer un nombre n en q 
parties entières, égales ou inégales, qu’il y en a de décomposer ce 
(‘) Ce théorème est dù à Euler, aussi bien que tous ceux que nous avons 
donnés dans la Note XXIH. 
(‘*) Il a été donné, sous une autre forme, par Euler (/ntroduction à l’Ana- 
lyse, t. 1, p. 244). 
