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Cette série est sinon divergente, du moins indéterminée. En 
effet, la somme des n premiers termes a pour valeur 
no) Sat 
se (n +1)(@—0) ie n(g —6) nu (n + 1)(9 +6) se n(g+ 6) 
2 2 9 2 
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et, lorsque n croit indéfiniment, cette quantité ne tend vers 
aucune limite fixe. Néanmoins, à l'endroit cité, Lagrange cherche 
à prouver que la somme de la série égale zéro. On va voir 
comment l’illustre Géomètre arrive à un pareil résultat. 
« La méthode que j'ai emploïée dans cette recherche est 
»_très-simple ; après avoir transformé la suite proposée en deux 
» autres composées de simples cosinus, j'ai mis à la place de 
» chacun de ces cosinus son expression exponentielle imaginaire, 
» & j'ai cherché la somme de suites résultantes, par la méthode 
» ordinaire de la sommation des series géométriques, en suppo- 
» sant le dernier terme nul comme on le fait communement 
» lorsque la serie va à l'infini. 
» M. d'Alembert m'objecte que cette supposition n'est point 
» exacte, parce que dans la suite VA + VTT &e. le dernier 
» terme est eV quantité qui est infinie au lieu d'être zéro. » 
Non seulement Lagrange n'admet pas l’objection, mais encore 
il ne la comprend pas; il y a plus : il s'étonne que d’Alembert 
conteste une proposition complètement absurde ! Le Géomètre de 
Turin continue en effet ainsi sa polémique avec le Philosophe de 
Paris : 
« Or je demande si toutes les fois que dans une formule 
» algébrique, il se trouvera par exemple une serie géométrique 
» infinie, telle que 1 + x + x? + x5 + &e. on ne sera pas en 
» droit d'y substituer ——, quoique cette quantité ne soit réelle- 
» ment égale à la somme de la serie proposée qu’en supposant 
» le dernier terme x” nul.Il me semble qu’on nesauroit contester 
» l'exactitude d’une telle substitution sans renverser les Principes 
» les plus communs de l’Analise. » 
