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» D’après ces principes, pour que la série (1) soit convergente, 
» il est nécessaire, et il suffit que les valeurs des sommes 
Suns Snyis Snpas ** 
» correspondantes à de très-grandes valeurs de n, diffèrent 
» très-peu les unes des autres, en d’autres termes, il est néces- 
» saire, et {| suffit que la différence 
Sagem — Sn = Un, + Un + + Unym-i (5) 
» devienne infiniment petite, quand on attribue au nombre n une 
» valeur infiniment grande, quel que soit d’ailleurs le nombre 
» entier représenté par m.….. » 
J'ai déjà fait remarquer (Traité élémentaire des séries, p. 4) 
que la phrase imprimée en italiques énonce (si je l’ai bien com- 
prise) une proposition fausse; car le sens le plus naturel qu'on 
lui puisse attribuer est celui-ci : 
Une série est convergente si la somme d’un nombre quelconque 
(mais déterminé) de termes conséculifs tend vers zéro, lorsque le 
rang du premier d’entre eux croît indéfiniment; et il est évident 
que la série harmonique satisfait à cette condition. 
On peut, il est vrai, supposer que par l'expression quel que 
soit le nombre entier m, Cauchy a voulu entendre que m peut 
être infini, ou plutôt indéfiniment grand. Mais alors le théorème 
énoncé (et non démontré) se réduirait à cette proposition aussi 
insignifiante qu'incontestable : une série est convergente..…. quand 
elle est convergente! 
En effet, pour que la quantité s,,, — s, tende vers zéro quand 
on y fait croître indéfiniment et successivement, d’abord m, ensuite 
n, il faut et il suffit que cette quantité tende vers une limite finie 
et déterminée quand on y fait d’abord croitre indéfiniment " ; 
c'est-à-dire il faut et il sufjit que la série soit convergente; ce qui 
n’apprend rien. 
IT. Cette proposition fausse ou insignifiante, que l'on est 
étonné de rencontrer chez l'illustre Géomètre à qui l’on doit les 
vrais principes sur la convergence des séries ; cette proposition, 
