os 
z 
= 
est convergente lorsque la somme 
Un + Un He + Unpp 1 
a 
tend vers zéro, quel que soit p, quand n augmente indéfiniment. 
» En effet, désignons par € une quantité positive aussi petite 
que l’on voudra, et par S, la somme des n premiers termes 
de la série. Comme la différence 
Sutp — Sn = y Æ Un Æ de Æ Uno 
» tend vers zéro, quel que soit p, par hypothèse, quand n tend 
» vers l'infini, on peut donner à # une valeur déterminée assez 
grande pour que la différence dont il s’agit soit comprise, quel 
» que soit p, entre — € et + €. On aura donc 
C2 
Sr On CO iriele: 
Cela posé, le nombre n restant invariable, faisons tendre p 
vers l'infini... » 
On voit que le théorème de M. Serret est la proposition de 
Cauchy, accompagnée d’une démonstration très peu claire : l’au- 
teur en convient. On voit aussi, par les derniers mots cités, que, 
suivant M. Serret, le nombre p doit être supposé indéfiniment 
grand. Nous avons déjà démontré ($ IT) que la proposition de 
Cauchy, entendue ainsi, équivaut à ce théorème inattaquable : 
Une série est convergente quand elle est convergente ; mais, afin 
d’élucider entièrement une théorie sur laquelle tant de Géomètres 
se sont trompés, croyons-nous, nous allons, à propos du théorème 
de M. Serret, reprendre et compléter notre démonstration. 
Soit 
Surp —S, = F (n, p). 
Si, laissant n constant, on fait croître p indéfiniment, il peut 
arriver deux choses : ou F(n, p) tend vers une limite finie et 
déterminée À = F(n, œ ) — q(n), ou le contraire a lieu. D’après 
l'énoncé de M. Serret, la seconde hypothèse doit être rejetée : 
car dire qu’une quantité infinie tend vers zéro quand on fait 
croître une variable n qui n’y entre pas, ou qu’une fonction de n, 
419 
