— 294% — 
LXVII — Sur un théorème d’Abel (‘). 
I. Le théorème de l’illustre Norwégien a été ainsi énoncé par 
l'auteur : 
« Si la série 
ke (a) = % + Vit Æ Von + ve LE ER ee 
» est convergente pour une certaine valeur à de «, elle sera 
» aussi convergente pour toute valeur moindre de &, et, pour 
» des valeurs toujours décroissantes de , la fonction f(« — f) 
» s'approche indéfiniment de la limite f(x), supposé que « soit 
» égal ou inférieur à 0 (**). » 
IT. En 1862 parut, dans le Journal de Mathématiques, une 
Note ayant pour titre : Démonstration d’un théorème d’Abel; 
Note de M. Lejeune-Dirichlet, communiquée par M. Liouville. 
Voiei le commencement et la fin de cette Note : 
« Il s’agit de prouver que si la série 
D +++ ie +, + 
n 
» est convergente et a pour somme À, la somme de la série 
» lo + Gp + PP ++ ap +: 
» qui sera convergente à fortiori en prenant la variable p positive 
et < 1, tendra vers la limite A lorsque l’on fera tendre indé- 
» finiment p vers l'unité (***). Causant un jour avec mon excel- 
» lent et si regrettable ami Lejeune-Dirichlet, je lui disais que je 
» trouvais assez difficile à exposer (et même à comprendre) (*) 
» Ja démonstration qu’Abel a donnée de ce théorème important. 
[3 
(‘) Cette Note à paru dans Mathesis. 
(**) OEuvres d’A bel, Are édit., t. I, p. 69; 24e édit., p. 225. 
(*"*) Ces six lignes sont, pour ainsi dire, la traduction du texte d’Abel, 
rapporté ci-dessus. 
(*) Ici, je suis complètement d'accord avec mon excellent el si regretté 
ami Liouville. 
