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» Dirichlet se mit sur-le-champ à écrire sous mes yeux, dans le 
» seul but de me venir en aide, la Note ci-après, qui m'a été 
» d'un grand secours et qu'on me saura gré de livrer au public. 
» Le mode de démonstration qu'on y trouve comporte de nom- 
» breuses applications. 
» Je ne pense pas que personne puisse songer désormais à 
demander de nouveaux éclaireissements. » 
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JL. L'article du Journal de Mathématiques provoqua la lettre 
suivante, qui n'a jamais été publiée. Elle ne le serait pas encore 
aujourd’hui, si je ne la croyais propre à provoquer la discussion 
sur une partie, assez obscure, de la théorie des séries. Sauf peut- 
être en un seul point, mes opinions, touchant le théorème d’Abel 
et la démonstration de Dirichlet, n'ont pas varié. Ceci dit, voici 
la lettre :. 
» Mon cher Monsieur Liouville, 
» Votre numéro d’Août, que je reçois ce soir, me jette en de 
» terribles perplexités : d’un côté, le Théorème d’Abel me semble 
» évident ; de Fautre, la démonstration de Dirichlet exige, si je 
» ne me trompe, de nouveaux éclaircissements : je veux dire 
» qu'elle est bien compliquée. Accordez-moi, pour chacun de 
ces deux points, trois minutes d'attention. 
» 1° Si une série 
= 
» Ag + UE + ee + Ana He. (1) 
» est convergente pour toutes les valeurs positives de x qui ne 
» dépassent pas une certaine quantité b, de façon que, pour cha- 
» eune de ces valeurs, la somme de la série (c'est-à-dire la limite 
» vers laquelle tend fa somme de ses n premiers termes, quand 
» n augmente indéfiniment) soit F(x); peut-on révoquer en 
doute lexactitude de l'équation 
= 
» &y + Mb + 0° + ab +. = F(b)? 
Autrement dit, peut-on contester celle-ci : 
» limF(x) = F | lim x} —F(b)? 
