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— 296 — 
» 2° Quoi qu'il en soit, si le Théorème d’Abel a besoin d’être 
démontré (ce que je ne puis me persuader), voici un essai de 
démonstration (*). 
» Soient f(x) la somme des n premiers termes de la série (1), 
(x) le reste : cette dénomination est permise, puisque la série 
est convergente. On aura 
» F(x) = f(x) + 9, (x). (2) 
» Dans les deux membres, faisons tendre x vers b : la limite 
du premier membre étant égale à la somme des limites des 
deux parties qui composent le second, on aura encore 
» F(b)— f,(b) + g,(b). (5) 
» Maintenant, faisons croître n indéfiniment : d’après l’hypo- 
thèse, le terme /,(b) tend vers une certaine limite B; le terme 
9,(b) tend vers zéro (**). D'ailleurs F(b), ne contenant pas n, 
n’a pas changé; donc enfin 
» F(b) —B. (4) 
» Votre bien affectionné et dévoué ancien élève, 
» E. CATALAN. 
» Paris, 25 janvier 1865 (9 h. !). 
» P.S. En relisant mon 2, je m'aperçois qu’il n’ajoute rien à 
l'évidence que je crois reconnaitre dans le Théorème en ques- 
tion; et, malgré moi, je pense aux gens difficiles qui voudraient 
démontrer ce postulatum, moins célèbre que celui d’'Euclide : 
» Deux points C, D, étant situés de part et d'autre d’une 
droite indéjinie AB ; la droite qui joint ces deux points coupe 
nécessairement AB. » 
() Ici, trois lignes étrangères à l’objet en litige, et que, par ce motif, 
je supprime. 
(‘”) Voir le paragraphe IV. 
