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IV. Dans certains cas très rares, la somme désignée par f,(b) 
est indépendante de n : cette somme est une simple constante. 
Par suite, le reste o,(b) se réduit, aussi, à une constante. 
L'égalité (5) prenant la forme 
F(b)=B + C, (5) 
le raisonnement employé ci-dessus n’est plus applicable; et la 
formule (4) se change en la dernière (*). 
Soit, par exemple, la série 
ne 
Sin Æ — —$sin 2X + — SIN 9X — +, 
2 5) 
citée par Abel (**). Pour toutes les valeurs de x, inférieures à 7, 
on a, comme l’a trouvé Fourier (***), F(x) —£x. En même 
temps, 
10 Let À 
falx) = sin x — — sin 2x + —sin 5x — +. + —-sin nx. 
2 9 n 
Mais, lorsque x —7, la dernière somme s’annule : elle est 
done indépendante de n. Aussi la formule (4), appliquée mal à 
propos, donne-t-elle ce résultat absurde : 
(‘) Sije ne me trompe, cette remarque, sur laquelle je reviendrai peut- 
être, rend compte de certaines difficultés, bien connues, que présentent les 
séries périodiques. 
(**) OEuvres, t. II, p. 267. 
(*’) Théorie de la Chaleur, p. 258. 
