— 304 — 
LXXITI. — Courbure des lignes et des surfaces (‘). 
4. THÉORÈME princiPa. — AMB étant une ligne quelconque, 
tracée sur une surface S ; soient 
MT la tangente, MC — bp le 
n rayon de courbure de AMB. 
Soit encore MN la normale à S. 
i En désignant par 0 l'angle NMC, 
et en conservant les notations 
ordinaires, on a 
VA pq" 
— C0 2 ———— FA) TA 
É D ARTE | AI 
2. Remarque. — Pour une 
même surface S, une même 
tangente MT, et un même plan 
osculateur CMT, le second 
T membre ne change pas. Done : 
LL 
TuéorÈME I. — Toutes les courbes G, C', GC", …, tracées sur 
une surface S, et ayant même plan osculateur, ont aussi même 
cercle osculateur. 
3. TuéorÈme II. — Le cercle osculateur d’une ligne C, tracée 
sur une surface S, est osculateur à la section faite, dans S, par 
le plan osculateur de C : les lignes ©, C’ ont même courbure. 
En effet, parmi les courbes C', C”, …, on peut considérer 
l'intersection de S par le plan osculateur commun. 
4. Remarques. — 1 (***). Ce Théorème IL, dont M. Bertrand 
a donné une démonstration assez obscure, est, on le voit, un 
simple corollaire du Théorème IT. 
IT. La formule (A) a été donnée par Poisson (”). Mais ni iui, 
(‘) Leçons faites à l’Université de Liége (1876). 
(**) Démonstration connue. Voir, par exemple, le Mémoire de Poisson 
(Journal de l'École polytechnique, 21° Cahier). 
(**) Due à M. Mansion. 
(”) Ou plutôt par Euler. 
